Bản đồ Gauss là gì ? đây là một khái niệm trừu tượng trong hình học vi phân tuy nhiên nó cơ ứng dụng rất lớn trong các thuạt toán đồ họa cảm biến để tối ưu hóa các hàm toán học phức tạp vậy chi tiết như thế nào về Bản đồ Gauss hãy cùng tham khảo bên dưới đây với ttdccomplex.vn nhé.
Bản đồ Gauss là gì ?
Trong hình học vi phân , bản đồ Gauss (được đặt theo tên của Carl F. Gauss ) ánh xạ một bề mặt trong không gian Euclide R 3 với hình cầu đơn vị S 2 . Cụ thể, cho một bề mặt X nằm trong R 3 , ánh xạ Gauss là một ánh xạ liên tục N : X → S 2 sao cho N ( p ) là một vectơ đơn vị trực giao với X tại p , cụ thể là một vectơ pháp tuyến đối với X tại p .
Bản đồ Gauss có thể được xác định (toàn cục) nếu và chỉ khi bề mặt có thể định hướng được , trong trường hợp đó độ của nó bằng một nửa đặc tính Euler . Bản đồ Gauss luôn có thể được xác định cục bộ (tức là trên một phần nhỏ của bề mặt). Định thức Jacobian của bản đồ Gauss bằng độ cong Gauss , và vi phân của bản đồ Gauss được gọi là toán tử hình dạng .
Bản đồ Gauss cung cấp một ánh xạ từ mọi điểm trên một đường cong hoặc một bề mặt đến một điểm tương ứng trên một hình cầu đơn vị. Trong ví dụ này, độ cong của bề mặt 2D được ánh xạ vào một vòng tròn đơn vị 1D.
Phân tích Bản đồ Gauss
Bản đồ Gauss có thể được định nghĩa cho siêu mặt trong R n như một ánh xạ từ siêu mặt đến hình cầu đơn vị S n – 1 ⊆ R n .
Đối với k – submanifold có định hướng chung của R n , bản đồ Gauss cũng có thể được xác định và không gian đích của nó là Grassmannian có định hướng :
Tức là tập hợp tất cả k -mặt phẳng có định hướng trong R n . Trong trường hợp này, một điểm trên thư mục con được ánh xạ tới không gian con tiếp tuyến có định hướng của nó. Người ta cũng có thể ánh xạ tới không gian con bình thường có định hướng của nó ; chúng tương đương với :
Thông qua phần bù trực giao. Trong không gian 3 Euclide , điều này nói rằng một mặt phẳng 2 định hướng được đặc trưng bởi một dòng 1 định hướng, tương đương với một vectơ pháp tuyến đơn vị :
, do đó điều này phù hợp với định nghĩa ở trên.
Cuối cùng, khái niệm về ánh xạ Gauss có thể được tổng quát hóa thành một cung con có định hướng X của chiều k trong một đa tạp Riemannian xung quanh có định hướng M có chiều n . Trong trường hợp đó, ánh xạ Gauss đi từ X đến tập k -pla tiếp tuyến trong bó tiếp tuyến TM . Không gian đích cho bản đồ Gauss N là một bó Grassmann được xây dựng trên bó tiếp tuyến TM . Trong trường hợp :
Gói tiếp tuyến được làm nhỏ (do đó, bó Grassmann trở thành một bản đồ cho Grassmannian), và chúng tôi khôi phục định nghĩa trước đó.
Công thức Bản đồ Gauss
Diện tích hình ảnh của bản đồ Gauss được gọi là tổng độ cong và tương đương với tích phân bề mặt của độ cong Gauss . Đây là cách giải thích ban đầu do Gauss đưa ra. Định lý Gauss – Bonnet liên kết tổng độ cong của một bề mặt với các đặc tính tôpô của nó :
Video chi tiết Bản đồ Gauss là gì ?
